ITパスポート試験

問82

ITパスポート過去問 令和1年度（2019年）問82

次の体系をもつ電話番号において，80億個の番号を創出したい。番号の最低限必要な桁数は幾つか。ここで，桁数には“020"を含むこととする。

選択肢

  • ア：11
  • イ：12
  • ウ：13
  • エ：14
  • ア
  • イ
  • ウ
  • エ

正解と解き方・学習ポイント（AI解説）

正解：ウ
あなたの回答：未回答

図の条件より、「020」の後ろの最初の1桁は1～3および5～9の8通りで、それ以外の各桁は0～9の10通りです。「020」の後ろをn桁とすると作れる番号数は8×10(n-1)通りです。80億(8×109)以上とするには8×10(n-1)≥8×109よりn=10となり、全体の桁数は「020」を含めて3+n=13桁です。

ア：不正解

11桁だと「020」の3桁と「020」の次の1桁の後ろが7桁なので、番号数は 8 × 107 = 80,000,000（8,000万）となり、80億に足りません。

イ：不正解

12桁だと「020」の3桁と「020」の次の1桁の後ろが8桁なので、番号数は 8 × 108 = 800,000,000（8億）となり、80億に足りません。

ウ：正解

13桁だと「020」の3桁と「020」の次の1桁の後ろが9桁なので、番号数は 8 × 109 = 80億個です。条件を満たすため正解です。

エ：不正解

14桁でも80億個以上にできますが、問題は最低限必要な桁数を問うため、13桁で条件を満たす以上、14桁は不要です。

Point

この問題は、電話番号の各桁に入れられる数字の通り数を読み取り、場合の数の考え方で総数を式にして、目的の個数を満たす最小の桁数を求める力を問うています。

解くために必要な知識

この問題を解くには、場合の数（積の法則）と、10の累乗を使った桁数の扱いを理解している必要があります。

用語の整理

用語 意味
場合の数（積の法則） 連続する選択（例：各桁に入る数字）について、全体の通り数を「各段階の通り数の掛け算」で求める考え方です。
10の累乗 10k は「10をk回掛ける」ことを表します。桁が1つ増えると通り数が10倍になります。

この問題で使う考え方

各桁の通り数を掛ける

桁ごとに選べる数字の数が決まっているとき、全体の通り数は次の形になります。

  • 1桁目がa通り、残りがm桁で各10通りの場合

    • 総数 = a × 10m

固定の接頭部がある場合

「020」のように固定で必ず付く部分があるときは、

  • 通り数の計算には影響しません（固定なので増えないためです）。

  • 桁数を問われたときは、最後に固定部分の桁数を足します。

問題の解法手順

解く手順

1. 「020」の後ろの桁数を文字で置く

「020」の後ろの桁数をn桁とします。

2. 各桁の通り数を図から読み取る

図より、次の制約があります。

  • 「020」の直後の1桁は、1～3および5～9のいずれかなので8通りです。

  • 残りの桁は、各桁0～9のいずれかなので1桁あたり10通りです。

3. 作れる番号の総数を式にする

「020」の後ろは、

  • 1桁目が8通り

  • 2桁目以降が( n-1 )桁あり、それぞれ10通り

なので、総数は次のとおりです。

総数＝8×10(n-1)

4. 80億個以上となる最小のnを求める

80億＝8×109 なので、

8×10(n-1) ≥ 8 × 109

両辺を8で割ると、

10(n-1) ≥ 109

よって、

n－1 ≥ 9
n ≥ 10

最小は n＝10 です。

5. 全体の桁数に「020」を加える

桁数には「020」を含むので、全体の桁数は次のとおりです。

全体の桁数＝3＋n＝3＋10＝13

したがって正解は「ウ」です。

選択肢ごとの解説

ア：不正解

11桁だと「020」の3桁と「020」の次の1桁の後ろが7桁なので、番号数は 8 × 107 = 80,000,000（8,000万）となり、80億に足りません。

イ：不正解

12桁だと「020」の3桁と「020」の次の1桁の後ろが8桁なので、番号数は 8 × 108 = 800,000,000（8億）となり、80億に足りません。

ウ：正解

13桁だと「020」の3桁と「020」の次の1桁の後ろが9桁なので、番号数は 8 × 109 = 80億個です。条件を満たすため正解です。

エ：不正解

14桁でも80億個以上にできますが、問題は最低限必要な桁数を問うため、13桁で条件を満たす以上、14桁は不要です。

まとめ

図の条件より、「020」の後ろの最初の1桁は1～3および5～9の8通りで、それ以外の各桁は0～9の10通りです。「020」の後ろをn桁とすると作れる番号数は8×10(n-1)通りです。80億(8×109)以上とするには8×10(n-1)≥8×109よりn=10となり、全体の桁数は「020」を含めて3+n=13桁です。

※本解説は生成AIによる学習支援用の参考情報です。内容の正確性や最新性は保証されません。最終的な判断は、試験実施団体の公式資料をご確認ください。

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