ITパスポート過去問 令和5年度（2023年）問77
受験者10,000人の4教科の試験結果は表のとおりであり，いずれの教科の得点分布も正規分布に従っていたとする。ある受験者の4教科の得点が全て71点であったとき，この受験者が最も高い偏差値を得た教科はどれか。
選択肢
- ア：国語
- イ：社会
- ウ：数学
- エ：理科
- ア
- イ
- ウ
- エ
正解と解き方・学習ポイント（AI解説）
偏差値は、同じ得点でも教科ごとの平均点と標準偏差が違うと値が変わります。偏差値は「(得点 − 平均点) ÷ 標準偏差 × 10 + 50」で求められ、71点が平均から標準偏差何個分だけ離れているかを比較すると、数学が最も大きくなります。したがって、最も高い偏差値を得た教科は数学（ウ）です
Point
偏差値が、単なる得点の大小ではなく「平均との差を標準偏差で割った値」で決まることを理解することが目的です。各教科で平均点と標準偏差が異なる場合でも、偏差値の公式に従って相対的な位置を比較できるようになることが求められます。
解くために必要な知識
この問題を解くには、偏差値の計算公式と、平均点・標準偏差が意味する内容の理解が必要です。
用語の整理
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 偏差値 | 平均を50、標準偏差を10とした尺度に換算した値で、集団内での相対的な位置を表します。 |
| 平均点 | 得点の合計を人数で割った値です。 |
| 標準偏差 | 得点のばらつきの大きさを表す指標です。値が大きいほど得点が広く散らばっていると考えられます。 |
| 正規分布 | 平均を中心に左右対称になる分布で、偏差値の考え方と合わせて扱われる代表的な分布です。 |
解くための手順
-
偏差値の公式を確認します。
-
各教科について z = (得点 − 平均点) ÷ 標準偏差 を計算します。
-
z が最大の教科を選びます。
なぜ z を比較すればよいか
偏差値は次の形に分解できます。
-
偏差値 = z × 10 + 50
-
z = (得点 − 平均点) ÷ 標準偏差
よって、z が大きいほど偏差値も大きくなります。
問題の解法手順
得点が全教科で同じ71点なので、偏差値の式のうち教科ごとに差が出る部分を比較します。
解く手順
1. 偏差値の式を確認する
- 偏差値 = 50 + 10 × (得点 − 平均点) / 標準偏差
2. 得点が同じときの比較対象を決める
-
50 と 10 は全教科で共通なので、次を比較すれば十分です。
-
標準化得点 z = (得点 − 平均点) / 標準偏差
3. 各教科で z を計算し、最大の教科を選ぶ
| 教科 | 計算 | z |
|---|---|---|
| 国語 | (71−62)/5 | 1.8 |
| 社会 | (71−55)/9 | 1.78… |
| 数学 | (71−58)/6 | 2.16… |
| 理科 | (71−60)/7 | 1.57… |
z が最大なのは数学なので、偏差値も数学が最大です。
選択肢ごとの解説
- ア：不正解
国語は z=(71−62)/5=1.8 です。平均との差は9点ですが、数学の z の方が大きいため、国語が最も高い偏差値にはなりません。
- イ：不正解
社会は z=(71−55)/9≈1.78 です。平均との差は16点と大きいですが、標準偏差が9と大きいため、z は数学より小さくなります。
- ウ：正解
数学は z=(71−58)/6≈2.16 で最大です。平均との差が13点あり、標準偏差6で割った値が最も大きいので、偏差値も最大になります。
- エ：不正解
理科は z=(71−60)/7≈1.57 です。平均との差は11点ですが、z が他教科より小さいため、最も高い偏差値にはなりません。
まとめ
偏差値は、同じ得点でも教科ごとの平均点と標準偏差が違うと値が変わります。偏差値は「(得点 − 平均点) ÷ 標準偏差 × 10 + 50」で求められ、71点が平均から標準偏差何個分だけ離れているかを比較すると、数学が最も大きくなります。したがって、最も高い偏差値を得た教科は数学（ウ）です
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国語は z=(71−62)/5=1.8 です。平均との差は9点ですが、数学の z の方が大きいため、国語が最も高い偏差値にはなりません。
社会は z=(71−55)/9≈1.78 です。平均との差は16点と大きいですが、標準偏差が9と大きいため、z は数学より小さくなります。
数学は z=(71−58)/6≈2.16 で最大です。平均との差が13点あり、標準偏差6で割った値が最も大きいので、偏差値も最大になります。
理科は z=(71−60)/7≈1.57 です。平均との差は11点ですが、z が他教科より小さいため、最も高い偏差値にはなりません。